Question

10．已知双曲线与椭圆$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$有相同的焦点，若双曲线的一条渐近线方程是$x+\sqrt{3}y=0$，则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，根据双曲线的一条渐近线方程为$x+\sqrt{3}y=0$，设双曲线的方程为x²-3y²=λ，即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{\frac{λ}{3}}=1$，可得λ+$\frac{1}{3}$λ=48，即可求出双曲线的方程．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$的焦点坐标为（$±4\sqrt{3}$，0），
∴双曲线的焦点坐标为（$±4\sqrt{3}$，0），
∵双曲线的一条渐近线方程为$x+\sqrt{3}y=0$，
∴设双曲线的方程为x²-3y²=λ，
即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{\frac{λ}{3}}=1$
∴λ+$\frac{1}{3}$λ=48，
∴λ=36，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

点评 本题考查双曲线的方程，考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定双曲线的焦点坐标是关键．