Question

14．4位男生和4位女生共8位同学站成一排，计算下列情况：
（1）男生甲和女生乙相邻排队的概率；
（2）男生甲和女生乙顺序固定的概率；
（3）男生甲不站左端且女生乙不站右端队的排法有几种．

Answer 1

分析 （1）根据题意，先由排列数公式计算8人排成一排的情况数目，再分2步计算男生甲和女生乙相邻排队的情况：①、将甲、乙看成一个元素，考虑其顺序，有2种情况，
②、将甲乙与其他人进行全排列，共7个元素，由分步计数原理可得男生甲和女生乙相邻排队的情况数目；由古典概型计算公式计算可得答案；
（2）根据题意，先由排列数公式计算8人排成一排的情况数目，再由倍分法计算甲、乙顺序一定的情况数目，由古典概型计算公式计算可得答案；
（3）根据题意，分2种情况讨论：①男生甲站右端，将剩下的7个人进行全排列，安排其他位置即可，②男生甲不站右端，依次分析甲、乙、以及其他6人的站法数目，可得此时的站法数目；最后由分步计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，先将8个人排成一排，进行全排列，有A₈⁸=8A₇⁷=40320种情况，
再分2步计算男生甲和女生乙相邻排队的情况：
①、将甲、乙看成一个元素，考虑其顺序，有2种情况，
②、将甲乙与其他人进行全排列，共7个元素，有A₇⁷=5040种情况，
共有2×A₇⁷=2×5040=10080种情况；
则男生甲和女生乙相邻排队的概率为$\frac{10080}{40320}$=$\frac{1}{4}$；
（2）先对8个人全排列，有A₈⁸=40320种情况，
其中甲乙的顺序有两种情况，即甲在乙前或甲在乙后，数目各占一半，
则甲、乙顺序一定的情况有$\frac{1}{2}$×40320=20160种，
则男生甲和女生乙顺序固定的概率为$\frac{20160}{40320}$=$\frac{1}{2}$；
（3）根据题意，分2种情况讨论：
①男生甲站右端，将剩下的7个人进行全排列，安排其他位置即可，有A₇⁷=5040种站法，
②男生甲不站右端则有6种选择，而女生乙也有6种选择，剩下6人进行全排列，安排其他位置有A₆⁶=720种排法，
则有6×6×720=25920种站法；
所以共有5040+25920=30960种．

点评 本题主要考查排列、组合的运用，涉及古典概型的计算，解题的关键要掌握常见排列、组合问题的处理方法，优先分析受限制的元素，不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法．