Question

已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在曲线（x+1）²=4y上．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=3，bn+1=abn，cn=

bn

bn-1

+

bn-1-2

bn-1-1

，求数列c_n的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将点代入到曲线方程中，得到a_n和S_n的关系式，再由a_n=S_n-S_n-1，能够得到a_n的通项公式．
（Ⅱ）由bn+1=abn，a_n=2n-1，知b_n+1=2b_n-1，b_n+1-1=2（b_n-1），即

bn+1-1

bn-1

=2，从而能得到cn=

bn

bn-1

+

bn-1-2

bn-1-1

=

2n+1

2n

+

2n-1-1

2n-1

=

2n+1-1

2n

=2- 

1

2n

，进而得到T_n．

解答：解：（Ⅰ）因为（a_n+1）²=4S_n，所以Sn=

(an+1)2

4

，Sn+1=

(an+1+1)2

4

所以Sn+1-Sn=

(an+1+1)2-(an+1)2

4

即4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n，所以2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
因为a_n+1+a_n≠0，所以a_n+1-a_n=2，
即数列{a_n}为公差等于2的等差数列
则（a₁+1）²=4a₁，解得a₁=1，所以a_n=2n-1
（Ⅱ）因为bn+1=abn，a_n=2n-1，所以b_n+1=2b_n-1
∴b_n+1-1=2（b_n-1），即

bn+1-1

bn-1

=2
所以数列{b_n-1}是以2为公比的等比数列
又b₁=3，所以b₁-1=2
故b_n-1=2•2^n-1，即b_n=2ⁿ+1
所以cn=

bn

bn-1

+

bn-1-2

bn-1-1

=

2n+1

2n

+

2n-1-1

2n-1

=

2n+1-1

2n

=2- 

1

2n

，
Tn=2n-  [1-(

1

2

)n]=2n-1+(

1

2

)n

点评：本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算．在对已知a_n和S_n的关系式中，往往都是利用迭代的方法，a_n=S_n-S_n-1．在数列求和时要注意合理地进行等价转化．