Question

【题目】在如图所示的几何体中，平面 平面 ，四边形 为平行四边形， ， ， ， .

（1）求证： 平面 ；
（2）求 到平面 的距离；
（3）求三棱锥 的体积.

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵平面 平面 ，且平面 平面 ，
又 平面 ， ，
∴ 平面 ，
而 平面 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ 平面
（2）解：设 的中点为 ，连接 ，
∵ ，∴ ．
∵平面 平面 ，且平面 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ ， 平面 ，
所以点 到平面 的距离就等于点 到平面 的距离，
即点 到平面 的距离为
（3）解：∴ ，
∵ ，
∴ ，即三棱锥 的体积为 ．
【解析】(1)首先根据面面垂直的性质定理即可得证 B C ⊥ 平面 A E C进而得出B C ⊥ A E，再利用勾股定理的逆定理得出A E ⊥ E C 结合线面垂直的判定定理进而得到 A E ⊥ 平面 B C E F。(2)根据题意作出辅助线结合题意利用面面垂直的性质定理可得出E G ⊥ 平面 A B C D，再结合平行性质转化垂直关系可得点 F 到平面 A B C D 的距离就等于点 E 到平面 A B C D 的距离，由已知的长度关系代入数值求出结果即可。(3)利用(1)(2)的结论把数值代入到三棱锥的体积公式求出结果即可。