Question

如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．

(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；

(2)证明：线段PC的中点为球O的球心

 

Answer 1

【答案】

  (1)证明：∵AC＝BC，M为AB的中点，∴CM⊥AM.∵PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴PA⊥CM.

∵AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴CM⊥平面PAB.

∵CM⊂平面PCM，

∴平面PAB⊥平面PCM.

(2)证明：由(1)知CM⊥平面PAB.

∵PM⊂平面PAB，

∴CM⊥PM.

∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC.如图，，取PC的中点N，连结MN、AN.在Rt△PAC中，点N为斜边PC的中点，

∴AN＝PN＝NC.在Rt△PCM中，点N为斜边PC的中点，

∴MN＝PN＝NC.

∴PN＝NC＝AN＝MN.

∴点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心．

【解析】略