Question

在△ABC中，AC=6，BC=7，cosA=

1

5

，O是△ABC的内心，若

OP

=x

OA

+y

OB

，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为

10 6

3

．

Answer 1

分析：根据

OP

=x

OA

+y

OB

，其中0≤x≤1，0≤y≤1，可得动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形，S=AB×r，r为△ABC的内切圆的半径，计算AB及r，即可得到结论．

解答：解：∵

OP

=x

OA

+y

OB

，其中0≤x≤1，0≤y≤1，
∴动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形
∴S=AB×r，其中r为△ABC的内切圆的半径
在△ABC中，由余弦定理可得cosA=

36+AB2-49

12AB

=

1

5

∴5AB²-12AB-65=0
∴AB=5
∴S△ABC=

1

2

AC•AB•sinA=6

6

∵O是△ABC的内心，
∴O到△ABC各边的距离均为r，
∴

1

2

×(6+5+7)×r=6

6

∴r=

2 6

3

∴S=AB×r=5×

2 6

3

=

10 6

3

．
故答案为：

10 6

3

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．