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17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=AB=2a,E是PB的中点,F是AD的中点,求证:EF⊥平面PCB.

分析 取BC的中点G,连接EG,FG,通过BC⊥面EFG证明BC⊥EF;
取PC的中点H,连接DH,EH,通过证明EF∥DH得出EF⊥PC;
从而证明EF⊥平面PCB.

解答 证明:因为PD⊥底面ABCD,
且ABCD是正方形,所以BC⊥DC,
所以PC⊥BC;
设BC的中点为G,
连接EG,FG,如图所示;
则EG∥PC,FG∥DC,
所以BC⊥EG,BC⊥FG;
因为EG∩FG=G,所以BC⊥面EFG;
因为EF?面EFG,所以BC⊥EF;①
又设PC的中点为H,且E为PB中点,连接DH,
所以EH∥BC,且EH=$\frac{1}{2}$BC;
又BC∥AD,且BC=AD,
∴EH∥AD,且EH=$\frac{1}{2}$AD;
所以四边形EHDF是平行四边形,
所以EF∥DH;
因为等腰直角△PDC中,H为底边PC的中点,
所以DH⊥PC,即EF⊥PC;②
因为PC∩BC=C,③
由①②③知EF⊥平面PCB.

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的证明问题,考查了空间想象能力与逻辑推理能力,是中档题目.

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