Question

已知不等式|x+2|-|x-3|＞m，分别求满足下列条件m的范围：
（1）若不等式有解；
（2）若不等式解集为R；
（3）若不等式解集为∅．

Answer 1

分析：由绝对值的意义可得|x+2|-|x-3|的最大值为5，最小值为-5，由此求得不等式有解、不等式解集为R、不等式解集为∅时，m的范围．

解答：解：由于|x+2|-|x-3|表示数轴上的x对应点到-2的距离减去它到3对应点的距离，
故它的最大值为5，最小值为-5，
（1）∵不等式|x+2|-|x-3|＞m 有解，∴5＞m，即m的范围为（-∞，5）．
（2）若不等式|x+2|-|x-3|＞m 解集为R，则有-5＞m，即m的范围为（5，+∞）．
（3）若不等式|x+2|-|x-3|＞m 的解集为∅，则有m≥5，即m的范围为[5，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题、函数的能成立问题，属于中档题．