Question

已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），

OM

=t₁

OA

+t₂

AB

．
（1）求证：当t₁=1时，不论t₂为何实数，A、B、M三点都共线；
（2）若t₁=a²，求当

OM

⊥

AB

且△ABM的面积为12时a的值．

Answer 1

分析：（1）当t₁=1时，求得

AB

=

OB

-

OA

=（4，4），

AM

=

OM

-

OA

=t₂

AB

，可得不论t₂为何实数，A、B、M三点共线．
（2）当t₁=a²时，求得

OM

=（4t₂，4t₂+2a²），

AB

=（4，4），再根据

OM

⊥

AB

求得t₂=-

1

4

a²，|

AB

|=4

2

，点M到直线AB：x-y+2=0的距离d=

2

|a²-1|．
再由S_△ABM=12求得a的值．

解答：解：（1）证明：当t₁=1时，

AB

=

OB

-

OA

=（4，4），由题意知

OM

=（4t₂，4t₂+2）．
∵

AM

=

OM

-

OA

=（4t₂，4t₂）=t₂（4，4）=t₂

AB

，
∴不论t₂为何实数，A、B、M三点共线．
（2）当t₁=a²时，

OM

=（4t₂，4t₂+2a²）．
又∵

AB

=（4，4），

OM

⊥

AB

，∴4t₂×4+（4t₂+2a²）×4=0，∴t₂=-

1

4

a²．
∴

OM

=（-a²，a²）．又∵|

AB

|=4

2

，
点M到直线AB：x-y+2=0的距离d=

|-a2-a2+2|

2

=

2

|a²-1|．
∵S_△ABM=12，
∴

1

2

|

AB

|•d=

1

2

×4

2

×

2

|a²-1|=12，解得a=±2，故所求a的值为±2．

点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，三点共线的条件，两个向量垂直的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．