【题目】设是偶函数,且当时,
(1)当时,求的解析式;
(2)设函数在区间上的最大值为,试求的表达式;
(3)若方程有四个不同的实根,且它们成等差数列,试探求与满足的条件.
【答案】(1);(2);(3)与满足的条件为且,或且,或且.
【解析】
(1)设、,利用已知函数的解析式,即可求得结论;
(2)因为是偶函数,所以它在区间,上的最大值即为它在区间,上的最大值,分类讨论,即可求得结论;
(3)设这四个根从小到大依次为,,,,则当方程在,上有四个实根时,由,且,得,,从而,且要求对恒成立,由此可得结论.
解:(1)当时,
同理,当时,,
所以,当时,的解析式为
(2)因为是偶函数,所以它在区间上的最大值即为它在区间上的最大值,
①当时,在上单调递增,在上单调递减,所以
②当时,在与上单调递增,在与上单调递减,
所以此时只需比较与的大小.
(i)当时,,所以
(ii)当时,,
所以
③当时,在与上单调递增,在上单调递减,且,
所以.
综上所述,.
(3)设这四个根从小到大依次为,,,.
①当方程在上有四个实根时,由,且,得,,
从而,且要求对恒成立.
(i)当时,在上单调递减,所以对恒成立,
即适合题意.
(ii)当时,欲对恒成立,只要,
解得,故此时应满足.
②当方程在上有两个实根时,,且,,
所以必须满足,且,,解得.
③当方程在上无实根时,,,
由,,解得,,
所以,
且由,解得.
综上所述,与满足的条件为且,或且,
或且.
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【题目】在直角坐标系中,圆的方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求圆的极坐标方程与直线的直角坐标方程;
(2)设直线与圆相交于,两点,求圆在,处两条切线的交点坐标.
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【题目】在极坐标系中,点P的坐标是,曲线C的方程为.以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率为的直线l经过点P.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l和曲线C相交于两点A,B,求的值.
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【题目】已知动圆经过点,且动圆被轴截得的弦长为4,记圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的标准方程;
(2)过轴下方一点向曲线作切线,切点记作、,直线交曲线于点,若直线、的斜率乘积为,点在以为直径的圆上,求点的坐标.
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【题目】为了解某校学生参加社区服务的情况,采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人,其中男生560人,从全校学生中抽取了容量为n的样本,得到一周参加社区服务时间的统计数据如下:
超过1小时 | 不超过1小时 | |
男 | 20 | 8 |
女 | 12 | m |
(1)求m,n;
(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关?
(3)从该校学生中随机调查60名学生,一周参加社区服务时间超过1小时的人数记为X,以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率,求X的分布列和数学期望.
附:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2.
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【题目】如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象,为了容易看出一个班级的成绩变化,将离散的点用虚线连接,根据图象,给出下列结论:
①一班成绩始终高于年级平均水平,整体成绩比较好;
②二班成绩不够稳定,波动程度较大;
③三班成绩虽然多次低于年级平均水平,但在稳步提升.
其中错误的结论的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国,作为主要战场的武汉,仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院,再次体现了中国速度.随着疫情发展,某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院,其占地是出一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m的等腰三角形组成的图形(如图所示),为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为( )
A.B.C.D.
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【题目】2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考,省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学,全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验,检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%,且每个人检验是否呈阳性相互独立,若该疾病患病率为0.1%,且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性,则他确实患病的概率( )
A.0.99%B.99%C.49.5%.D.36.5%
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