Question

F₁、F₂分别是双曲线x²-y²=1的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+b与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点．向量在向量方向的投影是p．
（1）根据条件求出b和k满足的关系式；
（2）当时，求直线l的方程；
（3）当=m，且满足2≤m≤4时，求△AOB面积的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用条件求出圆O的方程，再利用圆心到直线的距离等于半径可得b和k满足的关系式；
（2）先把直线l的方程与双曲线方程联立求出A、B两点的坐标与b和k之间的等式，再利用以及（1）的结论求出b和k进而求得直线l的方程；
（3）用类似于（2）的方法求出之间的关系式，求出弦AB的长，再把△AOB面积整理成关于m的函数；利用函数的单调性求出△AOB面积的取值范围即可．
解答：解：（1）双曲线x²-y²=1的两个焦点分别是，从而圆O的方程为x²+y²=2．
由于直线y=kx+b与圆O相切，
所以有．
即b²=2（k²+1），（k≠±1）为所求．（3分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则由并整理得，（k²-1）x²+2kbx+（b²+1）=0，其中k²≠1．
根据韦达定理，得．（5分）
从而
=．
又由（1）知．
又由于方向上的投影为p，
所以．
即2k²+3-4k²+2k²-2=k²-1，（8分）
∴
所以直线l的方程为．（9分）
（3）类似于（2）可得，
即2k²+3-4k²+2k²-2=mk²-m，
∴．（10分）
根据弦长公式，得=
=．
∵
=
而2≤m≤4，
∴当m=2时，
当m=4时，
因此△AOB面积的取值范围是．（14分）
点评：本题是对函数，向量，抛物线以及圆的综合考查，由于知识点较多，是道难题．