Question

10．已知函数f（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x-1}}$（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）已知函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x），证明当x＞2时，f（x）＞g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明x₁+x₂＞4．

Answer 1

分析 （1）利用导数与函数单调性的关系求得即可；
（2）构造函数h（x）=f（x）-g（x），利用导数判断且单调性得h（x）在（2，+∞）上是增函数，故h（x）＞h（2）=0，即可得证；
（3）利用（1）（2）的结论即可得出结论．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x-1}}$（x∈R）
∴f'（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x-1}}$，
∴x＜2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；x＞2时f'（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（x）的极大值=f（2）=$\frac{1}{e}$．
（2）∴g（x）=f（4-x），
∴g（x）=$\frac{3-x}{{e}^{3-x}}$，
设h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x-1}}$-$\frac{3-x}{{e}^{3-x}}$，
∴h'（x）=f′（x）-g′（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x-1}}$-$\frac{2-x}{{e}^{3-x}}$=$\frac{（2-x）（{e}^{3-x}-{e}^{x-1}）}{{e}^{2}}$
当x＞2时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）＞h（2）=0，
∴f（x）＞g（x）．
（3）由（1），不妨设x₁＜2＜x₂，则4-x₂＜2，
∴由（2）得f（x₁）=f（x₂）＞f（4-x₂），
又由（1）得，x＜2时，f（x）单调递增，
∴x₁＞4-x₂，
∴x₁+x₂＞4．

点评 本题主要考查利用导数求函数的单调区间及极值最值的知识，以及通过构造函数证明不等式成立问题，属中档题．