Question

5．已知函数f（x）=a（1-2|x-$\frac{1}{2}$|），a为常数且a＞0，
（Ⅰ）求函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若x₀满足f（f（x₀））=x₀，且f（x₀）≠x₀，则称x₀为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x₁，x₂，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）代入三角形的面积公式求出即可；（Ⅱ）通过分类讨论a的范围结合二阶周期点的定义求出a的范围即可．

解答 解：（I）由题，函数f（x）的图象与x轴交于（0，0），（1，0），且有最大值为a，
故所求即为 $\frac{1}{2}$a------（4分）
（Ⅱ）分类讨论如下：
（1）当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，有f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{{4a}^{2}x，x≤\frac{1}{2}}\\{{4a}^{2}（1-x），x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以f（f（x））=x只有一个解x=0，又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，有f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤\frac{1}{2}}\\{1-x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以f（f（x））=x有解集{x|x≤$\frac{1}{2}$}，
又当x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=x，故{x|x≤$\frac{1}{2}$}中的所有点都不是二阶周期点．
（3）当a＞$\frac{1}{2}$时，有f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{{4x}^{2}x，x≤\frac{1}{4a}}\\{2a-{4a}^{2}x，\frac{1}{4a}＜x≤\frac{1}{2}}\\{2a（1-2a）+{4}^{2}x，\frac{1}{2}＜x≤\frac{4a-1}{4a}}\\{{4a}^{2}-{4a}^{2}x，x＞\frac{4a-1}{4a}}\end{array}\right.$，
所以f（f（x））=x有四个解0，$\frac{2a}{1+{4a}^{2}}$，$\frac{2a}{1+2a}$，$\frac{{4a}^{2}}{1+{4a}^{2}}$，
又f（0）=0，f（$\frac{2a}{1+2a}$）=$\frac{2a}{1+2a}$，
f（$\frac{2a}{1+{4a}^{2}}$）≠$\frac{2a}{1+{4a}^{2}}$，f（$\frac{{4a}^{2}}{1+{4a}^{2}}$）≠$\frac{{4a}^{2}}{1+{4a}^{2}}$，
故只有$\frac{2a}{1+{4a}^{2}}$，$\frac{{4a}^{2}}{1+{4a}^{2}}$是f（x）的二阶周期点，
综上所述，所求a的取值范围为a＞$\frac{1}{2}$------（12分）

点评 本题考察了求新定义问题，考察分类讨论思想，是一道中档题．