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若直线l上有两个点A,B,且|AB|=2;两个半径相等的圆在直线l的一侧,与直线l分别相切与A,B点,C是两圆的公共点,则圆弧AC,CB以及线段AB围成的图形面积S的取值范围
(0,2-
π
2
]
(0,2-
π
2
]
分析:结合图形,可见当⊙O1与⊙O2外切于点C时,S最大,圆弧AC,CB与线段AB围成图形面积S就是矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积,可求出S的最大值,由C无限靠近直线l,得到S的最小值为0,即可得到S的取值范围.
解答:解:如图,当⊙O1与⊙O2外切于点C时,S最大,

∵两圆与直线l分别相切与A,B点,
∴四边形ABO2O1为矩形,且两圆半径为1,
∴∠AO1C=∠BO2C=90°,O1A=O2B=1,O1O2=2,
则Smax=S矩形ABO2O1-2S扇形面积O1AB=AO1•O1O2-2•
90•π•12
360

=2×1-2×(
1
4
×π×12)=2-
π
2

随着圆半径的变化,两圆位置关系为相交,
当圆的半径逐渐增大时,点C可以向直线l靠近,
当C到直线l的距离d→0时,S→0,
∴S∈(0,2-
π
2
]

故答案为:(0,2-
π
2
]
点评:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:切线的性质,两圆相切的性质,矩形、扇形的面积求法,以及极限的定义,其中根据图形得出当⊙O1与⊙O2外切于点C时S最大是解本题的关键.
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3
π

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