Question

若直线l上有两个点A，B，且|AB|=2；两个半径相等的圆在直线l的一侧，与直线l分别相切与A，B点，C是两圆的公共点，则圆弧AC，CB以及线段AB围成的图形面积S的取值范围

(0，2-

π

2

]

．

Answer 1

分析：结合图形，可见当⊙O₁与⊙O₂外切于点C时，S最大，圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S就是矩形ABO₂O₁的面积减去两扇形面积，可求出S的最大值，由C无限靠近直线l，得到S的最小值为0，即可得到S的取值范围．

解答：解：如图，当⊙O₁与⊙O₂外切于点C时，S最大，

∵两圆与直线l分别相切与A，B点，
∴四边形ABO₂O₁为矩形，且两圆半径为1，
∴∠AO₁C=∠BO₂C=90°，O₁A=O₂B=1，O₁O₂=2，
则S_max=S_矩形ABO2O1-2S_{扇形面积O1AB}=AO₁•O₁O₂-2•

90•π•12

360

=2×1-2×(

1

4

×π×12)=2-

π

2

，
随着圆半径的变化，两圆位置关系为相交，
当圆的半径逐渐增大时，点C可以向直线l靠近，
当C到直线l的距离d→0时，S→0，
∴S∈(0，2-

π

2

]．
故答案为：（0，2-

π

2

]

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：切线的性质，两圆相切的性质，矩形、扇形的面积求法，以及极限的定义，其中根据图形得出当⊙O₁与⊙O₂外切于点C时S最大是解本题的关键．