Question

12、对于函数 ①f（x）=lg（|x-2|+1），②f（x）=（x-2）²，③f（x）=cos（x+2）．给出如下三个命题：
命题甲：f（x+2）是偶函数；
命题乙：f（x）在区间（-∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；
命题丙：f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是

②

．

Answer 1

分析：要判断题目中给出的三个函数中，使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号，我们可将题目中的函数一一代入命题甲、乙、丙进行判断，只要有一个命题为假，即可排除，最好不难得到最终的答案．

解答：解：①若f（x）=lg（|x-2|+1）则：
f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真；
f（x）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时命题乙为真；
但f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上不是单调递增的；此时命题丙为假．
②f（x）=（x-2）²则：
f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真；
f（x）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时命题乙为真；
但f（x+2）-f（x）=4x-4在（-∞，+∞）上是增函数的；此时命题丙为真．
③若f（x）=cos（x+2），则：
f（x+2）是不偶函数，此时命题甲为假；
f（x）在（-∞，2）上不是减函数，在（2，+∞）上不是增函数；此时命题乙为假；
但f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上不是单调递增的；此时命题丙为假．
故答案为：②．

点评：本题综合的考查了多个函数的性质，在处理的时候，我们根据各种函数的性质，对题目中的结论逐一进行判断易得结论，熟练掌握各种基本函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性、对称性等，是解决本题的关键．