【题目】已知点在椭圆G:上,且椭圆的离心率为.
求椭圆G的方程;
若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点,以AB为底做等腰三角形,顶点为,求的面积.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题(Ⅰ) 由条件可得方程组,解得,,所以椭圆的方程为. (Ⅱ)直线与椭圆弦长、面积问题,一般利用直线方程与椭圆方程联立方程组,转化为一元二次方程,利用韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式解决:本题关键转化以为底作等腰三角形,顶点为为,其中中点为,这样可得等量关系,利用韦达定理可得弦中点坐标:,解得,进而可得、两点坐标,以下就具体化了.
试题解析:解:(1)由题意可得,解得,,,
所以椭圆的方程为.
设直线的方程为,代入得……(*)
设, ,中点为,
则,,
因为为等腰的底边,所以,
所以,解得,所以方程(*)为,
解得,,所以,,于是,
此时,点到直线的距离为,
所以△的面积为.
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【题目】某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生,并统计了他们的数学成绩(满分为100分),将数学成绩进行分组,并根据各组人数制成如下频率分布表:
(1)写出的值,并估计本次考试全年级学生的数学平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)现从成绩在内的学生中任选出两名同学,从成绩在内的学生中任选一名同学,共三名同学参加学习习惯问卷调查活动.若同学的数学成绩为43分,同学的数学成绩为分,求两同学恰好都被选出的概率.
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【题目】如图,四棱锥PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(Ⅰ)证明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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【题目】(2017·全国Ⅱ卷)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(1)证明:直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
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【题目】2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:是圆Q的圆心,圆Q过坐标原点O;点L、S均在x轴上,圆L与圆S的半径都等于2,圆S、圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O.
(1)若直线l与圆L、圆S均相切,则l截圆Q所得弦长为__________;
(2)若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d,则__________.
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【题目】已知函数f(x)与函数g(x)的图像关于原点对称,且f(x)= +2x, 若函数F(x)=g(x)-f(x)+1在区间上是增函数,求实数的取值范围。
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【题目】已知椭圆C的方程为,为椭圆C的左右焦点,离心率为,短轴长为2。
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,椭圆C的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点,求该平行四边形ABCD面积的最大值.
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