Question

如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
(3)是否存在点E使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．

Answer 1

解：(1)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE＝BC.
又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD＝AB.在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝，
即AD与平面PAC所成角的正弦值为.
(3)∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时，∠AEP＝90°，
故存在点E使得二面角A－DE－P是直二面角．

略