Question

20．已知曲线C₁参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=4t}\\{y=-1+3t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设曲线C₁与C₂公共点为A、B，点P（0，-1），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）消去参数t，把曲线C₁的参数方程化为普通方程；利用极坐标公式，把曲线C₂化为直角坐标方程；
（II）C₁的参数方程，代入曲线C₂的直角坐标方程得：5t²-8t-1=0，即可求出|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程，消去参数化为曲线C₁的普通方程：3x-4y-4=0，
曲线C₂的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，可得直角坐标方程：（x-1）²+（y+1）²=2．
（2）曲线C₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}t}\\{y=-1+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$，代入曲线C₂的直角坐标方程得：5t²-8t-5=0，
∴t₁t₂=-1．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=1．

点评 本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，考查参数几何意义的运用，是综合性题目．