【题目】如图,棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角P—CD—B余弦值的大小;
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,再利用向量的数量积运算,证明线线垂直,从而证明线面垂直;
(2)建立空间直角坐标系,求平面的法向量,再利用数量积求向量的夹角即可得解.
解:(1)建立如图所示的直角坐标系,
则A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).
在Rt△BAD中,AD=2,BD=,
∴AB=2.∴B(2,0,0)、C(2,2,0),
∴
∵,即BD⊥AP,BD⊥AC,
又AP∩AC=A,
故BD⊥平面PAC.
(2)由(1)得.
设平面PCD的法向量为,则
,
即,∴
,故平面PCD的法向量可取为
,
∵PA⊥平面ABCD,∴为平面ABCD的法向量.
设二面角P—CD—B的大小为,依题意可得,
故二面角P—CD—B余弦值的大小为.
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【题目】已知椭圆C:上的点到右焦点F的最大距离为
,离心率为
.
求椭圆C的方程;
如图,过点
的动直线l交椭圆C于M,N两点,直线l的斜率为
,A为椭圆上的一点,直线OA的斜率为
,且
,B是线段OA延长线上一点,且
过原点O作以B为圆心,以
为半径的圆B的切线,切点为
令
,求
取值范围.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,底面
是矩形,
平面
,AB 1,AP AD 2.
(1)求直线与平面
所成角的正弦值;
(2)若点M,N分别在AB,PC上,且平面
,试确定点M,N的位置.
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【题目】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,当点E在B1D1(与B1,D1不重合)上运动时,总有:
①AE∥BC1; ②平面AA1E⊥平面BB1D1D;
③AE∥平面BC1D; ④A1C⊥AE.
以上四个推断中正确的是( )
A.①②B.①④C.②④D.③④
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【题目】4名运动员参加一次乒乓球比赛,每名运动员都赛
场并决出胜负.设第
位运动员共胜
场,负
场
,则错误的结论是( )
A.
B.
C. 为定值,与各场比赛的结果无关
D. 为定值,与各场比赛结果无关
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【题目】如图,在多面体中,
平面
,四边形
为正方形,四边形
为梯形,且
,
,
,
.
(1)求直线与平面
所成角的正弦值;
(2)线段上是否存在点
,使得直线
平面
?若存在,求
的值:若不存在,请说明理由.
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【题目】某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为:若初检不合格,则需要进行调试,经调试后再次对其进行检验;若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为
.每台仪器各项费用如表:
项目 | 生产成本 | 检验费/次 | 调试费 | 出厂价 |
金额(元) | 1000 | 100 | 200 | 3000 |
(Ⅰ)求每台仪器能出厂的概率;
(Ⅱ)求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率(注:利润出厂价
生产成本
检验费
调试费);
(Ⅲ)假设每台仪器是否合格相互独立,记为生产两台仪器所获得的利润,求
的分布列和数学期望.
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