Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，SA=SB=

3

．
（Ⅰ）证明：SA⊥BC；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．

Answer 1

分析：解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过sin∠ESD=

ED

SD

=

AO

SD

=

2

11

=

22

11

，求出直线SD与平面SBC所成的角为arcsin

22

11

．
解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz，通过证明

SA

•

CB

=0，推出SA⊥BC．
（Ⅱ）.

OA

与

SD

的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为

OA

为平面SBC的法向量，利用α与β互余．通过cosα=

OA • SD

| OA |•| SD |

=

22

11

，sinβ=

22

11

，推出直线SD与平面SBC所成的角为arcsin

22

11

．

解答：解法一：
（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，
由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．
因为SA=SB，所以AO=BO，
又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，
由三垂线定理，得SA⊥BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，
依题设AD∥BC，
故SA⊥AD，由AD=BC=2

2

，SA=

3

，SD=

AD2+SA2

=

11

．
又AO=ABsin45°=

2

，作DE⊥BC，垂足为E，
则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．sin∠ESD=

ED

SD

=

AO

SD

=

2

11

=

22

11

所以，直线SD与平面SBC所成的角为arcsin

22

11

．

解法二：
（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，
由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
因为SA=SB，所以AO=BO．
又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz，
因为AO=BO=

2

2

AB=

2

，SO=

SB2-BO2

=1，
又BC=2

2

，所以A(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，C(0，-

2

，0)．S（0，0，1），

SA

=(

2

，0，-1)，

CB

=(0，2

2

，0)，

SA

•

CB

=0，所以SA⊥BC．

（Ⅱ）

SD

=

SA

+

AD

=

SA

-

CB

=(

2

，-2

2

，-1)，

OA

=(

2

，0，0).

OA

与

SD

的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为

OA

为平面SBC的法向量，所以α与β互余．cosα=

OA • SD

| OA |•| SD |

=

22

11

，sinβ=

22

11

，
所以，直线SD与平面SBC所成的角为arcsin

22

11

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．