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13.如图,边长为2的等边三角形ABC中,D为BC的中点,将△ABC沿AD翻折成直二面角B-AD-C,点E,F分别是AB,AC的中点.
(1)求证:BC∥平面DEF;
(2)求多面体D-BCEF的体积.

分析 (1)推导出EF∥BC.由此能证明BC∥平面DEF.
(Ⅱ)推导出AD⊥BD,AD⊥CD,从而AD⊥平面BCD,进而得到VD-BCFE=V三棱锥A-BCD-V三棱锥F-ADE,由此能求出多面体D-BCEF的体积.

解答 证明:(1)因为点E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.
又因为BC?平面DEF,EF?平面DEF,
所以BC∥平面DEF.  …(5分)
解:(2)依题意,AD⊥BD,AD⊥CD,且BD∩DC=D,
所以AD⊥平面BCD,
又因为二面角B-AD-C为直二面角,所以BD⊥CD,
所以${V_{三棱锥A-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$,
${V_{三棱锥F-ADE}}=\frac{1}{3}{S_{△ADE}}•\frac{1}{2}CD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{24}$,
所以${V_{D-BCFE}}={V_{三棱锥A-BCD}}-{V_{三棱锥F-ADE}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}-\frac{{\sqrt{3}}}{24}=\frac{{\sqrt{3}}}{8}$.  …(12分)

点评 本题考查线面平行的证明,考查多面体D-BCEF的体积的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查转化化归思想、数形结合思想,是中档题.

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