Question

如下图所示：在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4，点D是AB的中点．

(1)求证：AC⊥BC₁；

(2)求证：AC₁∥平面CDB₁；

(3)求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)直三棱角柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5 　　∴AC⊥BC且BC1在平面ABC内的射影为BC 　　∴AC⊥BC1 　　(2)设CB1与C1B的交点为E，连结DE 　　∵D是AB的中点，E是BC1的中点 　　∴DE∥AC1 　　DE平面CDB1，AC1平面CDB1， 　　∴AC1平面CDB1 　　(3)DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角 　　在△CED中，，， 　　∴ 　　∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．