Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c=

2

b，c为半焦距．过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

．
（1）求椭圆的方程．
（2）（理）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
（文）若直线y=x+k（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使OC⊥OD（O为原点）？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab=0．依题意

c= 2 b ab a2+b2 = 3 2

解得　

a= 3 b=1

，由此能求出椭圆方程．
（2）假若存在这样的k值，由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

得（1+3k²）x²+12kx+9=0．△=（12k）²-36（1+3k²）＞0．设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1•x2= 9 1+3k2

，由此入手能够求出存在k=

7

6

，使得以CD为直径的圆过点E．
（文科）假若存在这样的k值，由

y=x+k x2+3y2-3=0

得4x²+6kx+3k²-3=0．△=（6k）²-4×4（3k²-3）＞0．设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则

x1+x2=- 3 2 k x1•x2= 3k2-3 4

．由此入手，能够求出存在k=±

6

2

，使得OC⊥OD．

解答：解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab=0．
依题意

c= 2 b ab a2+b2 = 3 2

解得　

a= 3 b=1

∴椭圆方程为　

x2

3

+y2=1．
（2）（理科）假若存在这样的k值，由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1•x2= 9 1+3k2

②
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4．
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则

y1

x1+1

•

y2

x2+1

=-1，即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0．
∴（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0．　　　　　　　　　　　　　　　③
将②式代入③整理解得k=

7

6

．经验证，k=

7

6

，使①成立．
综上可知，存在k=

7

6

，使得以CD为直径的圆过点E．
（文科）假若存在这样的k值，由

y=x+k x2+3y2-3=0

得4x²+6kx+3k²-3=0．
∴△=（6k）²-4×4（3k²-3）＞0．　　　　　        　　　　　　　①
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则

x1+x2=- 3 2 k x1•x2= 3k2-3 4

②
而y₁•y₂=（x₁+k）（x₂+k）=x₁x₂+k（x₁+x₂）+k²．
由OC⊥OD知

OC

•

OD

=0，即 x₁x₂+y₁y₂=0．
∴2x₁x₂+k（x₁+x₂）+k²=0．　　　　　　③
将②式代入③整理解得k=±

6

2

．经验证k=±

6

2

使①成立．
综上可知，存在k=±

6

2

，使得OC⊥OD．

点评：本题考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．