Question

（本小题满分16分）已知函数＝，，,为常数。

（1）若函数在＝1处有极值10，求实数,的值；

（2）若＝0，(I)方程＝2在∈[－4,4]上恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围；(II)不等式＋2≥0对∈[1，4]恒成立，求实数的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）f’(x)＝3x²－2ax－b，

由f(x)在x＝1处有极值10，得f’(1)＝0，f(1)＝10。   （2分）

即3－2a－b＝0，1－a－b＋a^‑2＝10，解得a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11。 （4分）

经检验，a＝3，b＝－3不合题意，舍去。

∴a＝－4，b＝11。                     （5分）

（2）(I)由f(x)＝2，得f(x)－2＝0，令g(x)＝f(x)－2＝x³－bx－2，则方程g(x)＝0在x∈[－4,4]上恰有3个不相等的实数解。  ∵g’(x)＝3x²－b，                                 

（ⅰ）若b≤0，则g’(x)≥0恒成立，且函数g(x)不为常函数，∴g(x)在区间[－4,4]上为增函数，不合题意，舍去。          （6分）

（ⅱ）若b＞0，则函数g(x)在区间(－∞，－)上为增函数，在区间(－，)上为减函数，在区间(，＋∞)上为增函数，由方程g(x)＝0在x∈[－4,4]上恰有3个不相等的实数解，可得 （9分）

解得   ∴b∈        （ 10分 ）

(II)法一：由不等式f(x)＋2b≥0，得x³－bx＋2b≥0，即(x－2)b≤x³，

（ⅰ）若x－2＝0即x＝2时，b∈R；   （11分）             

（ⅱ）若x－2＜0即x∈时，b≥在区间上恒成立，令h(x)＝，则b≥h(x)_max。∵h’(x)＝，∴h’(x)＜0在x∈上恒成立，所以h(x)在区间上是减函数，∴h(x)_max＝h(1)＝－1，∴b≥－1。        （13分）

（ⅲ）若x－2＞0即x∈时，b≤在区间上恒成立，则b≤h(x)_min。

由（ⅱ）可知，函数h(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，

∴h(x)_min＝h(3)＝27，∴b≤27  (15分)

综上所述，b∈[－1，27]        (16分)

法二：      设     （11分）

当时，，在[1,4]上为增函数,  ，   所以 ，      （12分）

当时，在区间(－∞，－)上为增函数，在区间(－，)上为减函数，在区间(，＋∞)上为增函数，

若，即时，在[1,4]上为增函数,

 所以 ，       （13分）

若时，时，在上为减函数，在上为增函数，

所以， 得   （14分）

若时，即时，在[1,4]上为减函数, ，

得，舍去。  （15分）

故 的取值范围是   (16分)

【解析】略