Question

已知向量

a

，

b

，满足

a

=（1，2），

b

=（-2，1）．
（1）求向量

a

-

b

的坐标，以及向量

a

-

b

与

a

的夹角；
（2）若向量

a

-

b

与k

a

+

b

垂直，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）求出 

a

 -

b

  的坐标，设

a

-

b

 与

a

的夹角为 θ，则由 cos＜

a

-

b

，

a

＞=

( a - b ) • a

| a - b |•| a |

 求出 θ  的值．
（2）根据题意，求出两个向量的差的坐标，利用向量垂直的充要条件：数量积为0列出方程，求出k的值．

解答：解：（1）

a

 -

b

=（3，1），设

a

-

b

 与

a

的夹角为 θ，
则 cos＜

a

-

b

，

a

＞=

( a - b ) • a

| a - b |•| a |

=

3•1+2

9+1 • 1+4

=

2

2

．
根据题意得 0≤θ≤π，∴θ=

π

4

．
（2）：

a

 -

b

=（3，1），k

a

+

b

=(k-2，2k+1)
∵向量

a

-

b

与k

a

+

b

垂直
∴3×（k-2）+2k+1=0
解得k=1．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，向量的模的定义和求法，函数的单调性的应用，准确运算是解题的关键．