Question

11．已知x=1是函数f （x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m、n∈R，m＜0．
（1）求m与n的关系表达式；
（2）求f （x）的单调区间；
（3）当x∈（-1，1）时，函数y=f （x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f′（1）=0求出m与n的关系式；
（2）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；
（3）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x-1）[x-（1+$\frac{2}{m}$）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t-$\frac{1}{t}$求出g（t）的最小值．要使$\frac{2}{m}$＜（x-1）-$\frac{1}{x-1}$恒成立即要g（t）的最小值＞$\frac{2}{m}$，解出不等式的解集求出m的范围．

解答 解：（1）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n．
因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0．
所以n=3m+6．
（2）由（1）知f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+$\frac{2}{m}$）]
当m＜0时，有1＞1+$\frac{2}{m}$，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：

x	（-∞，1+$\frac{2}{m}$）	1+$\frac{2}{m}$	（1+$\frac{2}{m}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	＜0	0	＞0	0	＜0
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

由上表知，当m＜0时，f（x）在（-∞，1+$\frac{2}{m}$）单调递减，在（1+$\frac{2}{m}$，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
（3）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x-1）[x-（1+$\frac{2}{m}$）]＞3m，
∵m＜0．∴（x-1）[x-1（1+$\frac{2}{m}$）]＜1．（*）
1⁰x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．
∴m＜0．
2⁰x≠1时，∵x∈[-1，1]，∴-2≤x-1＜0．
（*）式化为$\frac{2}{m}$＜（x-1）-$\frac{1}{x-1}$．
令t=x-1，则t∈[-2，0），记g（t）=t-$\frac{1}{t}$，
则g（t）在区间[-2，0）是单调增函数．∴g（t）_min=g（-2）=-2-$\frac{1}{-2}$=-$\frac{3}{2}$．
由（*）式恒成立，必有$\frac{2}{m}$＜-$\frac{3}{2}$⇒-$\frac{4}{3}$＜m，又m＜0．∴-$\frac{4}{3}$＜m＜0．
综上1⁰、2⁰知-$\frac{4}{3}$＜m＜0．

点评 考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．