分析 (1)求出f′(x),因为x=1是函数的极值点,所以得到f′(1)=0求出m与n的关系式;
(2)令f′(x)=0求出函数的极值点,讨论函数的增减性确定函数的单调区间;
(3)函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′(x)>3m代入得到不等式即3m(x-1)[x-(1+$\frac{2}{m}$)]>3m,又因为m<0,分x=1和x≠1,当x≠1时g(t)=t-$\frac{1}{t}$求出g(t)的最小值.要使$\frac{2}{m}$<(x-1)-$\frac{1}{x-1}$恒成立即要g(t)的最小值>$\frac{2}{m}$,解出不等式的解集求出m的范围.
解答 解:(1)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n.
因为x=1是f(x)的一个极值点,所以f'(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0.
所以n=3m+6.
(2)由(1)知f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+$\frac{2}{m}$)]
当m<0时,有1>1+$\frac{2}{m}$,当x变化时f(x)与f'(x)的变化如下表:
x | (-∞,1+$\frac{2}{m}$) | 1+$\frac{2}{m}$ | (1+$\frac{2}{m}$,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | <0 | 0 | >0 | 0 | <0 |
f(x) | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
点评 考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力,利用导数研究函数极值和单调性的能力,以及掌握不等式恒成立的条件.
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A. | $\frac{8}{3}$ | B. | $\frac{7}{3}$ | C. | $\frac{5}{3}$ | D. | $\frac{4}{3}$ |
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A. | 2sinа | B. | 2cosа | C. | 0 | D. | -2sinа |
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A. | 是等腰三角形,但不一定是直角三角形 | |
B. | 是直角三角形,但不一定是等腰三角形 | |
C. | 既不是等腰三角形,也不是直角三角形 | |
D. | 既不是等腰三角形,也是直角三角形 |
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