[题目]如图.在直三棱柱中. 分别是棱的中点.点在棱上.且. . .(1)求证: 平面,(2)当时.求二面角的余弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在棱上，且，， .

（1）求证：平面；

（2）当时，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由线面平行的判定定理证明；（2）利用空间直角坐标系解题。

试题解析：

解：（1）(法一)连接交于点，连接

由分别是棱中点，故点为的重心

在中，有

，又平面

平面

（法二）取的中点，连接

由是棱的中点，为的中点，

为的中位线，即平面

又为棱的中点，为的中点

由，由，且为直三棱柱

，进而得

，即平面

又平面平面

（2）由为直三棱柱

平面，取的中点，连接

是棱的中点，，即平面

为等边三角形

为的中点且

故以为坐标原点，以射线分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系

则

，，

设平面的法向量为

则：，不妨取，则

设平面的法向量为

则：，不妨取，则

记二面角为

故二面角的余弦值为．

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