考点:利用导数研究函数的单调性
专题:导数的综合应用
分析:(Ⅰ)求函数的导数,即可求f′(1)的值和f(x)的单调区间;
(Ⅱ)将不等式恒成立转化为求函数的最值即可得到结论.
解答:
解:(Ⅰ)函数f(x)=ln
-f′(1)•x的定义域为(0,+∞),
f′(x)=
-f′(1),
令x=1,则f′(1)=1-f′(1),
∴f′(1)=
,
则f(x)=ln
-
•x,f′(x)=
-
=
,
由f′(x)=
>0,解得0<x<2,此时函数单调递增,
由f′(x)=
<0,解得x>2,此时函数单调递减,
故f(x)的单调增区间为(0,2),递减区间为(2,+∞);
(Ⅱ)g(x)=
x-f(x)-
=2x-ln
-.
则g′(x)=2-
+==
>0则在(0,1]上函数单调递增,则g(x)的最小值为g(1)=ln2-1,
若存在x
1∈(0,1],对于任意的x
2∈[1,2],总有g(x
1)≥h(x
2)成立,
等价为g(x)在(0,1]上的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值,
而h(x)在[1,2]上的最大值为max{h(1),h(2)},
则
| g(1)=ln2-1≥h(1) | g(1)=ln2-1≥h(2) |
| |
,
即
,
则
,
即m≥6-ln2,
则实数m的取值范围是[6-ln2,+∞).
点评:本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系,以及利用导数求函数的最值.考查学生的运算能力.