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已知函数f(x)=ln
ex
2
-f′(1)•x,g(x)=
3
2
x-f(x)-
2
x

(Ⅰ)求f′(1)的值和f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设函数h(x)=x2-mx+4,若存在x1∈(0,1],对于任意的x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.
考点:利用导数研究函数的单调性
专题:导数的综合应用
分析:(Ⅰ)求函数的导数,即可求f′(1)的值和f(x)的单调区间;
(Ⅱ)将不等式恒成立转化为求函数的最值即可得到结论.
解答: 解:(Ⅰ)函数f(x)=ln
ex
2
-f′(1)•x的定义域为(0,+∞),
f′(x)=
1
x
-f′(1),
令x=1,则f′(1)=1-f′(1),
∴f′(1)=
1
2

则f(x)=ln
ex
2
-
1
2
•x,f′(x)=
1
x
-
1
2
=
2-x
2x

由f′(x)=
2-x
2x
>0,解得0<x<2,此时函数单调递增,
由f′(x)=
2-x
2x
<0,解得x>2,此时函数单调递减,
故f(x)的单调增区间为(0,2),递减区间为(2,+∞);
(Ⅱ)g(x)=
3
2
x-f(x)-
2
x
=2x-ln
ex
2
-
2
x

则g′(x)=2-
1
x
+
2
x2
=
2x2-x+2
x2
=
2(x-
1
4
)2+
15
8
x2
>0

则在(0,1]上函数单调递增,则g(x)的最小值为g(1)=ln2-1,
若存在x1∈(0,1],对于任意的x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,
等价为g(x)在(0,1]上的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值,
而h(x)在[1,2]上的最大值为max{h(1),h(2)},
g(1)=ln2-1≥h(1)
g(1)=ln2-1≥h(2)

ln2-1≥5-m
ln2-1≥8-2m

m≥6-ln2
m≥
1
2
(9-ln2)

即m≥6-ln2,
则实数m的取值范围是[6-ln2,+∞).
点评:本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系,以及利用导数求函数的最值.考查学生的运算能力.
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π
6
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π
3
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