Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1 ， y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．
（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；
（2）若 +λ = ，求证：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由条件知，x1=1﹣ ，则A点坐标为（1﹣ ，1），代入抛物线方程得p=1，

∴抛物线方程为y2=2x，

（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+ ），

将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得： ，

解得：x1= ，x2= ．

∵d=λp，

∴ ，

+λ = ， ，

∴p=x2﹣x1= ，

∴ ，

∴直线AB的斜率为定值．

【解析】（1）由题意可知x1=1﹣ ，A点坐标为（1﹣ ，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；（2）直线AB过M（﹣ ，0），设直线AB的方程为y=k（x+ ），代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得 ，解出x1、x2，将d=x1+ ，代入d=λp，得 ， +λ = ，可知， ，将x1、x2代入，即可解得 ，可证直线AB的斜率为定值．