Question

已知点P(－2,－3)和以Q为圆心的圆(x－4)²+(y－2)²=9.

(1)画出以PQ为直径,Q′为圆心的圆,再求出它的方程.

(2)作出以Q为圆心的圆和以Q′为圆心的圆的两个交点A、B.直线PA、PB是以Q为圆心的圆的切线吗?为什么?

(3)求直线AB的方程.

Answer 1

(1) x²+y²－2x+y－14=0.

(2)PA、PB是圆(x－4)²+(y－2)²=9的切线.

因为点A、B在圆x²+y²－2x+y－14=0上,且PQ是直径.

所以PA⊥AQ,PB⊥BQ.

所以PA、PB是圆(x－4)²+(y－2)²=9的切线.

(3) 直线AB的方程.6x+5y－25=0.

解析:

(1)因为P(－2,－3),Q(4,2)是以Q′为圆心的圆的直径的两个端点,所以以Q′为圆心的圆的方程是(x+2)(x－4)+(y+3)(y－2)=0,

即x²+y²－2x+y－14=0.

(2)PA、PB是圆(x－4)²+(y－2)²=9的切线.

因为点A、B在圆x²+y²－2x+y－14=0上,且PQ是直径.

所以PA⊥AQ,PB⊥BQ.

所以PA、PB是圆(x－4)²+(y－2)²=9的切线.

(3)两方程(x－4)²+(y－2)²=9、x²+y²－2x+y－14=0相减,得6x+5y－25=0.

这就是直线AB的方程.