Question

一个正四面体棱长为6，则该正四面体的内切球的体积为

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：计算题,空间位置关系与距离,球

分析：作出正四面体的图形，确定球的球心位置为O，说明OE是内切球的半径，运用勾股定理计算，即可得到球的体积．

解答： 解：如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，
正四面体的棱长为6，
所以OE为内切球的半径，设OA=OB=R，
在等边三角形BCD中，BE=

3

3

×6=2

3

，
AE=

AB2-BE2

=

36-12

=2

6

．
由OB²=OE²+BE²，即有R²=（2

6

-R）²+12
解得，R=

3 6

2

．OE=AE-R=

6

2

，
则其内切球的半径是

6

2

，
内切球的体积为

4

3

π×（

6

2

）³=

6

π．
故答案为：

6

π．

点评：本题考查正四面体的内切球半径的求法，内切球的半径是正四面体的高的

1

4

，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．