Question

9．已知函数$f（x）=lg（{x+\sqrt{{x^2}+1}}）+x$，如果f（1+a）+f（1-a²）＜0，则a的取值范围是{a|a＜-1或a＞2}．

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）为奇函数，f（x）在R上单调递增．故由条件可得f（1+a）＜f（a²-1），故1+a＜a²-1，由此求得a的范围．

解答 解：函数$f（x）=lg（{x+\sqrt{{x^2}+1}}）+x$，f（-x）=lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）-x=-lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）-x=-f（x），
故函数f（x）为奇函数，且函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，故f（x）在R上单调递增．
如果f（1+a）+f（1-a²）＜0，则f（1+a）＜f（a²-1），∴1+a＜a²-1，
求得a＜-1或a＞2，
故答案为：{a|a＜-1或a＞2}．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的性质，属于基础题．