Question

11．已知$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$是非零不共线的向量，设$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{r+1}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{r}{r+1}$$\overrightarrow{OB}$，定义点集M={K|$\frac{\overrightarrow{KA}•\overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KA}|}$=$\frac{\overrightarrow{KB}•\overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KB}|}$}，当K₁，K₂∈M时，若对于任意的r≥2，不等式|$\overrightarrow{{K}_{1}{K}_{2}}$|≤c|$\overrightarrow{AB}$|恒成立，则实数c的最小值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{r+1}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{r}{r+1}$$\overrightarrow{OB}$，可得A，B，C共线，再由向量的数量积的几何意义可得KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得$\frac{|KA|}{|KB|}$=$\frac{|AC|}{|BC|}$=r，可得K的轨迹为圆，求得圆的直径与AB的关系，即可得到所求最值．

解答 解：由$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{r+1}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{r}{r+1}$$\overrightarrow{OB}$，
可得A，B，C共线，
由$\frac{\overrightarrow{KA}•\overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KA}|}$=$\frac{\overrightarrow{KB}•\overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KB}|}$，
可得|$\overrightarrow{KC}$|cos∠AKC=|$\overrightarrow{KC}$|cos∠BKC，
即有∠AKC=∠BKC，
则KC为∠AKB的平分线，
由角平分线的性质定理可得$\frac{|KA|}{|KB|}$=$\frac{|AC|}{|BC|}$=r，
即有K的轨迹为圆心在AB上的圆，
由|K₁A|=r|K₁B|，可得|K₁B|=$\frac{|AB|}{r+1}$，
由|K₂A|=r|K₂B|，可得|K₂B|=$\frac{|AB|}{r-1}$，
可得|K₁K₂|=$\frac{|AB|}{r+1}$+$\frac{|AB|}{r-1}$=$\frac{2r}{{r}^{2}-1}$|AB|
=$\frac{2}{r-\frac{1}{r}}$|AB|，
由r-$\frac{1}{r}$在r≥2递增，可得r-$\frac{1}{r}$≥2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
即有|K₁K₂|≤$\frac{4}{3}$|AB|，
即$\frac{|\overrightarrow{{K}_{1}{K}_{2}}|}{|\overrightarrow{AB}|}$≤$\frac{4}{3}$，由题意可得c≥$\frac{4}{3}$，
故c的最小值为$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查向量共线定理的运用，考查向量的数量积的几何意义，以及角平分线的性质定理，同时考查函数的单调性的运用，属于中档题．