Question

已知函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）．
（1）试比较f（-3）与f（-2），f（0）与f（1）的大小；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间；（只写结果，不用证明）
（3）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出f（-3），f（-2），f（0），f（1），并根据指数函数的单调性即可比较f（-3）与f（-2），f（0）与f（1）的大小；
（2）求f′（x），并判断f′（x）的符号，从而写出f（x）的单调递增区间；
（3）假设f（x）有负数根，也就是存在x＜0，使得ax+

x-2

x+1

=0，然后将该方程变成：ax=

2-x

x+1

，由0＜a^x＜1便得到0＜

2-x

x+1

＜1，解该不等式得到的x的范围应该和x＜0矛盾，从而说明假设不成立．

解答： 解：（1）f（-3）=a-3+

5

2

，f（-2）=a^-2+4；
∵a＞1；
∴a^-3＜a^-2，

5

2

＜4；
∴f（-3）＜f（-2）；
同理可得f（0）＜f（1）；
（2）f′（x）=axlna+

3

(x+1)2

＞0；
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（-1，+∞）；
（3）证明：假设f（x）=0有负数根；
即存在x＜0，使ax+

x-2

x+1

=0成立；
∴ax=

2-x

x+1

；
∵0＜a^x＜1；
∴0＜

2-x

x+1

＜1，解得

1

2

＜x＜2，与x＜0矛盾；
∴假设不成立；
即方程f（x）=0没有负数根．

点评：考查指数函数的单调性，求导数，并判断导数符号从而求出函数的单调区间的方法，以及利用反证法证明问题时找矛盾的方法与过程．