Question

如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x²+y²-4y-4=0，双曲线的左、右顶
点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．
（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F₁、F₂，试在“8”字形曲线上求点P，使得
∠F₁PF₂是直角．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,双曲线的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出半圆的圆心和半径，求得圆与x轴的交点，即有a=2，令y=2，解得交点，代入双曲线方程，解得b，进而得到双曲线的方程；
（2）求出焦点坐标，∠F₁PF₂是直角，则设P（x，y），则有x²+y²=8，联立两半圆的方程及双曲线方程，解得交点，注意检验，即可得到所求的P的坐标．

解答： 解：（1）上半个圆所在圆方程是x²+y²-4y-4=0，则圆心为（0，2），半径为2

2

．
则下半个圆所在圆的圆心为（0，-2），半径为2

2

．
双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（-2，0），（2，0），即a=2，
由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得，x=±2

2

．
即有交点为（±2

2

，2）．
设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则

8

a2

-

4

b2

=1，且a=2，解得，b=2．
则双曲线的方程为

x2

4

-

y2

4

=1；
（2）双曲线的左、右焦点为F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0），
若∠F₁PF₂是直角，则设P（x，y），则有x²+y²=8，
由

x2+y2=8 x2-y2=4

解得，x²=6，y²=2．
由

x2+y2=8 x2+(y±2)2=8

解得，y=±1，不满足题意，舍去．
故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为（

6

，

2

），（-

6

，

2

），
（-

6

，-

2

），（

6

，-

2

）．

点评：本题考查双曲线的方程的求法，考查圆与圆、双曲线的位置关系，考查运算能力，属于基础题．