Question

已知点F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F₂（1，0）的距离的最大值为

2

+1．
（1）求椭圆C的方程．
（2）点M的坐标为（

5

4

，0），过点F₂且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的k∈R，

MA

•

MB

是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得c=1且a=

2

，再用平方关系算出b²=1，从而得到椭圆C的方程．
（2）设直线交椭圆C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线l的方程y=k（x-1）与椭圆C联解消去y，得关于x的方程，再运用根与系数关系算出x₁+x₂、x₁x₂关于k的式子，最后利用向量数量积的坐标公式将

MA

•

MB

化简整理，即可得到对于任意的k∈R，

MA

•

MB

=-

7

16

（定值）．

解答：解：（1）由题意，可知：c=1且a+c=

2

+1，
∴a=

2

，可得b²=a²-c²=1
因此，椭圆C的方程为：

x2

2

+y²=1
（2）设直线l的方程为：y=k（x-1）
直线交椭圆C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

消去y，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由根与系数的关系，得

x1+x2= 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2

∵M（

5

4

，0），可得

MA

=(x1-

5

4

，y1)，

MB

=(x2-

5

4

，y2)
∴

MA

•

MB

=（x₁-

5

4

）（x₂-

5

4

）+y₁y₂=-

5

4

（x₁+x₂）+x₁x₂+

25

16

+y₁y₂，
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）
∴

MA

•

MB

=-

5

4

（x₁+x₂）+x₁x₂+

25

16

+y₁y₂
=-

5

4

（x₁+x₂）+x₁x₂+

25

16

+k²（x₁-1）（x₂-1）
=-

5

4

•

4k2

1+2k2

+

2k2-2

1+2k2

+

25

16

+k²（

2k2-2

1+2k2

-

4k2

1+2k2

+1）=-

7

16

∴对于任意的k∈R，

MA

•

MB

=-

7

16

（定值）．

点评：本题给出椭圆方程，求解过焦点的直线与椭圆相交所得向量数量积的问题，着重考查了椭圆的几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．