Question

（2012•姜堰市模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，已知AB=AC=2，PA=1，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，点D、E分别为AB、PC的中点．
（1）在AC上找一点M，使得PA∥面DEM；
（2）求证：PA⊥面PBC；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）M为AC的中点时，PA∥面DEM，利用三角形的中位线性质，证明EM∥PA，从而可证PA∥面DEM；
（2）由AB=AC=2，PA=1，∠PAB=∠PAC=60°，利用余弦定理求出PB=PC=

3

，从而可得AP⊥PB，AP⊥PC，进而可证PA⊥面PBC；
（3）在△PBC中，PB=PC=

3

，BC=2，从而可得△PBC的面积，进而可求体积．

解答：（1）解：M为AC的中点时，PA∥面DEM．连接EM，DM

∵M为AC的中点，E为PC的中点
∴EM∥PA
∵EM?面DEM，PA?面DEM
∴PA∥面DEM；
（2）∵AB=AC=2，PA=1，∠PAB=∠PAC=60°，
∴PB=PC=

12+22-2×1×2×cos60°

=

3

∴AB²=AP²+PB²，AC²=AP²+PC²，
∴AP⊥PB，AP⊥PC
∵PB∩PC=P
∴PA⊥面PBC；
（3）在△PBC中，PB=PC=

3

，BC=2，
∴S△PBC=

1

2

×2×

3-1

=

2

∴VP-ABC=

1

3

S△PBC×PA=

1

3

×

2

×1=

2

3

点评：本题考查线面平行、线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确掌握线面平行、线面垂直的判定是关键．