Question

15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，x≥0时，f（x）=-x²+2x．
（1）求f（x）在R上的表达式；
（2）令g（x）=f（x），问是否存在大于零的实数a、b，使得当x∈[a，b]时，函数g（x）值域为$[{\frac{1}{b}，\frac{1}{a}}]$，若存在求出a、b的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由定义知，f（-x）=-f（x）对任意实数x恒成立，结合当≥0时，f（x）=-x²+2x，求函数y=f（x）的解析式；
（2）假设存在满足条件的a，b，则a，b必为方程g（x）=$\frac{1}{x}$的两个解，即可求出结果．

解答 解：（1）由定义知，f（-x）=-f（x）对任意实数x恒成立．
令x=0，得f（0）=0…（1分）
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=（-x）²+2x=x²+2x
综上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$…（4分）
（2）∵a，b＞0，∴$\frac{1}{a}$≤1，∴a≥1，
∴当x∈[a，b]时，函数g（x）单调递减…（6分）
∴g（a）=$\frac{1}{a}$，g（b）=$\frac{1}{b}$ …（7分）
∴a，b为g（x）=$\frac{1}{x}$的两个解…（8分）
∴-x²+2x=$\frac{1}{x}$
∴x₁=1，x₂=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₃=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍） …（9分）
∴a=1，b=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．…（10分）

点评 本题考查求函数y=f（x）的解析式、函数的单调性，考查计算能力，属于中档题．