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    【题目】已知是函数的极值点.

    （Ⅰ）求实数的值；

    （Ⅱ）求证：函数存在唯一的极小值点，且.

    （参考数据：）

    【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明

    【解析】

    (Ⅰ)根据求得；通过导数验证函数的单调性，可知时极值点为，满足题意；(Ⅱ)根据(Ⅰ)可知极小值点位于，此时的零点，且此时为极小值点，代入得到关于的二次函数，求解二次函数值域即可证得结论.

    (Ⅰ)因为，且是极值点

    所以，所以

    此时

    设 ，则

    则当时，，为减函数

    又

    当时，，则为增函数

    当 时，，则为减函数

    此时为的极大值点，符合题意

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知，时，不存在极小值点

    当时，，为增函数，且 ，

    所以存在

    结合(Ⅰ)可知当时，，为减函数； 时，，为增函数，所以函数存在唯一的极小值点

    又 ，所以

    且满足 .

    所以

    由二次函数图象可知：

    又，

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    某读书APP抽样调查了非一线城市M和一线城市N各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”．

    （1）请填写以下列联表，并判断是否有99．5%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？

    活跃用户

    不活跃用户

    合计

    城市M

    城市N

    合计

    （2）以频率估计概率，从城市M中任选2名用户，从城市N中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为，求的分布列和数学期望．

    （3）该读书APP还统计了2018年4个季度的用户使用时长y（单位：百万小时），发现y与季度（）线性相关，得到回归直线为，已知这4个季度的用户平均使用时长为12.3百万小时，试以此回归方程估计2019年第一季度（）该读书APP用户使用时长约为多少百万小时．

    附：，其中．

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.若过的动直线与曲线相交于两点.

    (1)判断曲线的名称并写出它的标准方程；

    (2)是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

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    【题目】如图所示，已知AB为圆O的直径，且，点D为线段AO的中点，点C为圆O上的一点，且，平面ABC，.

    （1）求证：平面PAB.

    （2）求二面角的余弦值.

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    【题目】已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为，.

    （1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；

    （2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.

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    【题目】已知函数，.

    （1）若在上为单调递增，求实数的取值范围；

    （2）若，且，求证：对定义域内的任意实数，不等式恒成立.

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    【题目】已知函数，.

    （1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；

    （2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.

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