Question

设函数f（x）=e^x+2x-a（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）

• A、[1，e]
• B、[1，1+e]
• C、[e，1+e]
• D、[0，1]

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．

解答：解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b）
其中f^-1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
∴e^x+2x-a=x
∴a=e^x+x
设g（x）=e^x+x
则g′（x）=e^x+1＞0在[0，1]上恒成立，
∴g（x）=e^x+x在[0，1]上递增，
∴g（0）=1+0=1，g（1）=e+1
∴a的取值范围是[1，1+e]，
故选：B

点评：本题主要考察了复合函数的性质，综合性较强，属于难题．