Question

（1）设双曲线与椭圆

x2

27

+

y2

36

=1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．
（2）设椭圆

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，离心率为

1

2

，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆方程求出焦点坐标，在椭圆方程中取y=4求出椭圆与双曲线的交点，代入双曲线方程后联立求解即可得到答案；
（2）由抛物线方程求出椭圆右焦点，得到c，由离心率求得a，结合隐含条件求出b，则答案可求．

解答：解：（1）椭圆

x2

27

+

y2

36

=1的焦点为（0，3），（0，-3）
所以双曲线的c²=9．
在椭圆上，令y=4，解得，x=±

15

．
所以双曲线过点（±

15

，4）
设双曲线方程

y2

a2

-

x2

b2

=1
将点（

15

，4）代入，得

16

a2

-

15

b2

=1①
又a²+b²=c²=9②
由①②可以解得a²=4，b²=5．
双曲线方程

y2

4

-

x2

5

=1；
（2）由抛物线y²=8x，得p=4
抛物线右焦点是（2，0），即椭圆的焦点坐标是（2，0），则c=2
又e=

c

a

=

1

2

，故a=4
即m²=a²=16，n²=b²=a²-c²=16-4=12
∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1．

点评：本题考查了圆锥曲线的几何性质，考查了计算能力，是中档题．