【题目】已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数,
(1)求实数a的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求实数k的取值范围;
(3)设关于x的方程f(4x﹣b)+f(﹣2x+1)=0有实数根,求实数b的取值范围.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)= 是奇函数,
∴f(﹣x)= =
=﹣f(x)=﹣
,
∴a=1
(2)解:由(1)可知f(x)= =﹣1+
由上式易知f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数,
又∵f(x)是奇函数,
从而不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0等价于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(﹣2t2+k),
∵f(x)是减函数,由上式推得t2﹣2t>﹣2t2+k,
即对一切t∈R有3t2﹣2t﹣k>0,
从而判别式△=4+12k<0,解得k<﹣
(3)解:∵f(x)是奇函数,
∴f(4x﹣b)+f(﹣2x+1)=0,
∴f(4x﹣b)=f(2x+1),
∴4x﹣b=2x+1,
∴b=4x﹣2x+1,
∵4x﹣2x+1=(2x)2﹣2×2x=(2x﹣1)2﹣1≥﹣1,
∴当b∈[﹣1,+∞)时方程有实数解
【解析】(1)根据奇函数的定义即可求出,(2)根据奇函数的定义将不等式化为:f(t2﹣2t)<f(﹣2t2+k),再分离函数解析式,利用指数函数的复合函数的单调性判断出此函数的单调性,再列出关于x的不等式,由题意转化为:3t2﹣2t﹣k>0恒成立,利用二次函数的性质列出等价不等式求解.(3)先将原方程变为b=4x﹣2x+1 , 再利用整体思想将2x看成整体,结合二次函数的性质即可求得实数b的取值范围
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【题目】已知全集U=R,A={x|x≥3},B={x|x2﹣8x+7≤0},C={x|x≥a﹣1}
(1)求A∩B,A∪B;
(2)若A∩C=C,求实数a的取值范围.
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【题目】
已知函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,a∈R.
(Ⅰ)曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率为3,求a的值;
(Ⅱ)若对于任意x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥12lnx恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)若a>1,设函数f(x)在区间[1,2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a),
记h(a)=M(a)-m(a),求h(a)的最小值.
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【题目】设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 =
.
(1)求角A的大小;
(2)当a=6时,求△ABC面积的最大值,并指出面积最大时△ABC的形状.
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【题目】已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围
(2)令g(x)=f(x)﹣x2 , 是否存在实数a,当x∈(0,e]时,函数g(x)的最小值是3?若存在,求出a的值,若不存在,说明理由
(3)当x∈(0,e]时,求证:e2x2﹣ x>(x+1)lnx.
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【题目】中秋节即将到来,为了做好中秋节商场促销活动,某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下:将一块边长为10的正方形纸片剪去四个全等的等腰三角形
,
,
,
再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒
,其中
重合于点
,
与
重合,
与
重合,
与
重合,
与
重合(如图所示).
(1)求证:平面平面
;
(2)已知,过
作
交
于点
,求
的值.
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【题目】某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权,集团在该地区随机初步勘探了部分几口井,取得了地质资料.进入全面勘探时期后,集团按网络点来布置井位进行全面勘探,由于勘探一口井的费用很高,如果新设计的井位与原有井位重合或接近,便利用旧井的地质资料,不必打这口新井,以节约勘探费用,勘探初期数据资料见如表:
(参考公式和计算结果:
,
,
,
)
(1)1~6号旧井位置线性分布,借助前5组数据求得回归直线方程为,求
的值,并估计
的预报值.
(2)现准备勘探新井,若通过1,3,5,7号并计算出的
,
的值(
,
精确到0.01)相比于(1)中的
,
,值之差不超过10%,则使用位置最接近的已有旧井
,否则在新位置打开,请判断可否使用旧井?
(3)设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井,那么在原有6口井中任意勘探4口井,求勘探优质井数
的分布列与数学期望.
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【题目】设函数f(x)= x2﹣mlnx,g(x)=x2﹣(m+1)x,m>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当m≥1时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.
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