Question

已知圆心为C的圆方程是x²+y²-2y+m=0．
（1）如果圆C与直线y=0没有公共点，求实数m的取值范围；
（2）如果圆C过坐标原点，直线l过点P（0，a）（0≤a≤2），且与圆C交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，求直线l的斜率k关于a的解析式k（a），并求k（a）的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）根据条件可得方程x² +m=0无解，从而求得m的范围．
（2）当a=1时，△ABC不存在．设直线l的方程为y=kx+a，△ABC的面积为S，则S=

1

2

sin∠ACB，故当sin∠ACB 最大值时，S最大．当sin∠ACB 取最大值为1时，点C到直线l的距离为

2

2

，求得k关于a的解析式，以及a的范围．再根据k关于a的解析式以及a的范围，分类讨论求得k的最大值．

解答： 解：（1）根据圆C方程是x²+y²-2y+m=0，由圆C与直线y=0没有公共点，可得方程x² +m=0无解，故m＞0．
（2）由题意可得C（0，1），由圆C：x²+y²-2y+m=0过原点，可得m=0，圆C方程是x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）² =1．
当a=1时，△ABC不存在，故0＜a＜1，或1＜a≤2．
设直线l的方程为y=kx+a，△ABC的面积为S，则S=

1

2

CA•CB•sin∠ACB=

1

2

sin∠ACB，故当sin∠ACB 最大值时，S最大．
当sin∠ACB 取最大值为1时，点C到直线l的距离为

2

2

，即

|a-1|

k2+1

=

2

2

，化简可得k²=2（a-1）²-1≥0，
求得a≤1-

2

2

，或a≥1+

2

2

．
①当a∈（0，1-

2

2

]∪[1+

2

2

，2]时，sin∠ACB 取最大值为1，当a=2，或a=0时，k取得最大值为1．
②当a∈（1-

2

2

，1）∪（1，1+

2

2

）时，∠ACB∈（

π

2

，π），故当∠ACB最小时，sin∠ACB最大．
作CD⊥AB，则C为AB的中点，sin∠ACD=

CD

CA

=CD，故要使S最大，需CD最大，而CD≤CP，当CD=CP时，AB垂直于y轴，此时k=0．
 综上可得，k的最大值为1．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，直角三角形中的边角关系，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．