Question

13．如图，A、B、C，O₁，O₂∈平面α，AB=BC=1，∠ABC=90°，D为动点，DC=$\sqrt{3}$，且DC⊥BC．当点D从O₁顺时针转动到O₂的过程中，异面直线AD与BC所成角的余弦值（　　）

• A． 一直变小
• B． 一直变大
• C． 先变小，后变大
• D． 先变小，再变大，后变小

Answer 1

分析 由已知得到BC⊥平面O₁DCO₂，以C为原点，CB为x轴，CO₂为y轴，过C作平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能推导出当点D从O₁顺时针转动到O₂的过程中，异面直线AD与BC所成角的余弦值一直减小．

解答 解：∵A、B、C，O₁，O₂∈平面α，AB=BC=1，∠ABC=90°，D为动点，DC=$\sqrt{3}$，且DC⊥BC，
∴BC⊥平面O₁DCO₂，
以C为原点，CB为x轴，CO₂为y轴，过C作平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，-1，0），B（1，0，0），C（0，0，0），D（0，y，z），其中-$\sqrt{3}≤y≤\sqrt{3}$，0$≤z≤\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=（-1，y+1，z），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{1}{\sqrt{1+（y+1）^{2}+{z}^{2}}}$，
∵当点D从O₁顺时针转动到O₂的过程中，
y+1的取值从1$-\sqrt{3}$到1+$\sqrt{3}$逐渐增大，z的值先0逐渐增加到$\sqrt{3}$，再从$\sqrt{3}$逐渐减少到0，
∴异面直线AD与BC所成角的余弦值一直减小．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．