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    （2009•浦东新区一模）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10
    		3
    米，记∠BHE=θ．
    （1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
    （2）若sinθ+cosθ=
    		3
    +1
    2
    ，求此时管道的长度L；
    （3）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．
    分析：（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得EH=
    10
    cosθ
    ，FH=
    10
    sinθ
    ，EF=
    		EH2+FH2
    =
    10
    sinθcosθ
    (0＜θ＜
    π
    2
    )    ，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．
    （2）若sinθ+cosθ=
    		3
    +1
    2
    ，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．
    （3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．
    解答：解：（1）EH=
    10
    cosθ
    ，FH=
    10
    sinθ
    …（2分）EF=
    10
    sinθcosθ
    …（4分）
    由于BE=10•tanθ≤10
    		3
    ，AF=
    10
    tanθ
    ≤10
    		3
    		3
    3
    ≤tanθ≤
    		3
    ，θ∈[
    π
    6
    ，
    π
    3
    ]    …（5分）L=
    10
    cosθ
    +
    10
    sinθ
    +
    10
    sinθ•cosθ
    ，θ∈[
    π
    6
    ，
    π
    3
    ]    …（6分）
    （2）sinθ+cosθ=
    		3
    +1
    2
    时，sinθcosθ=
    		3
    4
    ，…（8分）L=20(
    		3
    +1)    ；…（10分）
    （3）L=
    10
    cosθ
    +
    10
    sinθ
    +
    10
    sinθ•cosθ
    =10(
    sinθ+cosθ+1
    sinθ•cosθ
    )
    设sinθ+cosθ=t则sinθ•cosθ=
    t2-1
    2
    …（12分）
    由于θ∈[
    π
    6
    ，
    π
    3
    ]    ，所以t=sinθ+cosθ=
    		2
    sin(θ+
    π
    4
    )∈[
    		3
    +1
    2
    ，
    		2
    ]    …（14分）L=
    20
    t-1
    在[
    		3
    +1
    2
    ，
    		2
    ]    内单调递减，于是当t=
    		2
    时θ=
    π
    4
    ．L的最小值20(
    		2
    +1)    米．…（15分）
    答：当θ=
    π
    4
    时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为20(
    		2
    +1)    米…（16分）
    点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键．
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    limn→∞
    Sn    =
    16
    16
    ．

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    π
    π
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    （1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由．
    第一组：f1(x)=sinx，f2(x)=cosx，h(x)=sin(x+
    π
    3
    )    ；
    第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
    （2）设f1(x)=log2x，f2(x)=log
    1
    2
    x，a=2，b=1    ，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
    （3）设f1(x)=x(x＞0)，f2(x)=
    1
    x
    (x＞0)    ，取a＞0，b＞0生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1，试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．

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    （2009•浦东新区二模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c已知a=2
    		3
     ， c=2    ，且
    .
    sinCsinB0
    0b-2c
    cosA01
    .
    =0    ，求△ABC的面积．

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