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    记函数fn(x)=a•xn-1(a∈R，n∈N*)的导函数为
    f
    ′
    n
    (x)    ，已知
    f
    ′
    3
    (2)=12    ．
    （Ⅰ）求a的值．
    （Ⅱ）设函数gn(x)=fn(x)-n2Inx，试问：是否存在正整数n使得函数gn（x）有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
    （Ⅲ）若实数x0和m（m＞0，且m≠1）满足：
    f
    ′
    n
    (x0)
    f
    ′
    n+1
    (x0)
    =
    fn(m)
    fn+1(m)
    ，试比较x0与m的大小，并加以证明．
    分析：（Ⅰ）直接由
    f
    ′
    3
    (2)=12    列式求a的值；
    （Ⅱ）求出函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由导函数的符号判断原函数的单调性，求出原函数的最值，根据最值分析函数的零点个数；
    （Ⅲ）求出fn′(x)=n•xn-1，代入
    f
    ′
    n
    (x0)
    f
    ′
    n+1
    (x0)
    =
    fn(m)
    fn+1(m)
    ，解出x0，把x0与m作差后构造辅助函数，求出辅助函数的导函数，由辅助函数的单调性即可证明x0与m的差与0的大小关系，则结论得到证明．
    解答：解：（Ⅰ）f3′(x)=3ax2，由f3′(2)=12，得a=1；
    （Ⅱ）gn(x)=xn-n2lnx-1，gn′(x)=n•xn-1-
    n2
    x
    =
    n(xn-n)
    x
    ，
    ∵x＞0，令gn′(x)=0，得x=
    nn
    ．
    当x＞
    nn
    时，gn′(x)＞0，gn（x）是增函数；
    当0＜x＜
    nn
    时，gn′(x)＜0，gn（x）是减函数；
    所以当x=
    nn
    时，gn（x）有极小值，也是最小值，gn(
    nn
    )=n-nlnn-1    ．
    当x→0时，gn（x）→+∞；
    当x→+∞时，（可取x=e，e2，e3，…体验），gn（x）→+∞．
    当n≥3时，gn(
    nn
    )=n(1-lnn)-1＜0    ，函数gn（x）有两个零点；
    当n=2时，gn(
    nn
    )=-2ln2+1＜0    ，函数gn（x）有两个零点；
    当n=1时，gn(
    nn
    )=0    ，函数gn（x）只有一个零点；
    综上所述，存在n=1使得函数gn（x）有且只有一个零点．
    （Ⅲ）fn′(x)=n•xn-1，
    ∵
    fn′(x0)
    fn-1′(x0)
    =
    fn(m)
    fn-1(m)
    ，∴
    nx0n-1
    (n+1)x0n
    =
    mn-1
    mn+1-1
    ．
    解得x0=
    n(mn+1-1)
    (n+1)(mn-1)
    ，
    则x0-m=
    -mn+1+m(n+1)-n
    (n+1)(mn-1)
    ，
    当m＞1时，（n+1）（mn-1）＞0，设h（x）=-xn+1+x（n+1）-n（x≥1），
    则h′（x）=-（n+1）xn+n+1=-（n+1）（xn-1）≤0（当且仅当x=1时取等号），
    所以h（x）在[1，+∞）上是减函数，
    又因为m＞1，所以h（m）＜h（1）=0，所以x0-m＜0，所以x0＜m．
    当0＜m＜1时，（n+1）（mn-1）＜0，设h（x）=-xn+1+x（n+1）-n（0＜x≤1），
    则h′（x）=-（n+1）xn+n+1=-（n+1）（xn-1）≥0（当且仅当x=1时取等号），
    所以h（x）在（0，1]上是增函数，又因为0＜m＜1，所以h（m）＜h（1）=0，所以x0-m＞0，
    所以x0＞m．
    综上所述，当m＞1，x0＜m．当0＜m＜1时，x0＞m．
    点评：本题考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了构造函数法进行不等式的大小比较，是有一定难度题目．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数fn(x)=
    ln(x+n)-n
    x+n
    +
    1
    n(n+1)
    （其中n为常数，n∈N*），将函数fn（x）的最大值记为an，由an构成的数列{an}的前n项和记为Sn．
    （Ⅰ）求Sn；
    （Ⅱ）若对任意的n∈N*，总存在x∈R+使
    x
    ex-1
    +a=an    ，求a的取值范围；
    （Ⅲ）比较
    1
    en+1+e•n
    +fn(en)    与an的大小，并加以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，（x∈N*），其导函数记为fn′（x），且满足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
    f2(x2)-f2(x1) x2-x1
    ，其中a，x1，x2为常数，x1≠x2．设函数g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（x），（m∈R且m≠0）．
    （Ⅰ）求实数a的值；
    （Ⅱ）若函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，求m的值；
    （Ⅲ）求函数g（x）在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，(n∈N*)，其导函数记为fn′(x)，且满足f2′[ax1+(1-a)x2]=
    f2(x2)-f2(x1)x2-x1
    ，其中a、x1、x2为常数，x1≠x2．设函数g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（x），（m∈R且m≠0）．
    （Ⅰ）求实数a的值；
    （Ⅱ）若m=1，求函数g（x）的单调区间；
    （Ⅲ）求函数g（x）在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值．

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    科目：高中数学 来源：2012届广东省电白水东中学高三上学期第三次月考文科数学 题型：解答题

    （本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，n∈N*，其导函数记为，且满足，a，x1，x2为常数,x1≠x2．
    (1)试求a的值；
    (2)记函数，x∈（0，e]，若F(x)的最小值为6，求实数b的值；
    (3)对于(2)中的b，设函数，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)是函数g(x)图象上两点，若，试判断x0，x1，x2的大小，并加以证明．

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