Question

已知直线l₁：x+2y+1=0，l₂：-2x+y+2=0，它们相交于点A．
（1）判断直线l₁和l₂是否垂直？请给出理由；
（2）求A点的坐标及过点A且与直线l₃：3x+y+4=0平行的直线方程（请给出一般式）
（3）求直线l₁上点P（1，y₁），Q（x₂，1）与B（2，1）构成的三角形的面积．

Answer 1

分析：（1）分别可得直线l₁，l₂的斜率，看是否满足k₁•k₂=-1；
（2）联立

x+2y+1=0 -2x+y+2=0

，解方程组可得点A的坐标，由平行关系可得直线的斜率，进而可得直线的方程；
（3）易得P，Q的坐标，可得|PQ|，又可得点B（2，1）到直线l₁的距离为d，代入面积公式可得．

解答：解：（1）可得直线l₁：x+2y+1=0，
l₂：-2x+y+2=0的斜率分别为k₁=-

1

2

，k₂=2，
满足k₁•k₂=-

1

2

×2=-1，
∴l₁，⊥l₂
（2）联立

x+2y+1=0 -2x+y+2=0

，解方程组可得

x= 3 5 y=- 4 5

，
故点A的坐标为（

3

5

，-

4

5

），由于直线l₃：3x+y+4=0的斜率为-3，
故所求直线的方程为y-（-

4

5

）=-3（x-

3

5

），
化为一般式可得：3x+y-1=0
（3）把x=1代入x+2y+1=0可得y₁=-1，把y=1代入x+2y+1=0可得x₂=-3，
∴P，Q的坐标分别为（1-，1）和（-3，1），
∴|PQ|=

(-3-1)2+(1-1)2

=4，
点B（2，1）到直线l₁的距离为d=

|2×1+2×1+1|

12+22

=

5

，
∴所求三角形的面积为S=

1

2

|PQ|d=

1

2

×4×

5

=2

5

点评：本题考查直线的一般式方程，涉及三角形的面积的求解和两直线垂直的判定，属基础题．