Question

设函数f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值为m．若m≥k对任意的b、c恒成立，则k的最大值是

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：函数f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值为f（-1），f（1），f（b）三个中最大的一个值，然后根据b、c任意，然后取b=0，c=与b=0，c=进行判定，假设f（b）=|b²+c|=m，f（-1）≤m，f（1）≤m，从而求出m的范围，即可求出所求．
解答：函数f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值为f（-1），f（1），f（b）三个中最大的一个值
而f（-1）=|c-2b-1|，f（1）=|c+2b-1|，f（b）=|b²+c|
∵m≥k对任意的b、c恒成立，
∴当b=0，c=时也成立即f（x）=|-x²+|，x∈[-1，1]的最大值为
故可排除选项A
当b=0，c=时也成立即f（x）=|-x²+|，x∈[-1，1]的最大值为
假设f（b）=|b²+c|=m，则c=m-b²或c=-m-b²
f（-1）=|c-2b-1|≤m，f（1）=|c+2b-1|≤m，
∴（b+1）²≤2m，（b-1）²≤2m，将两式相加得：2b²+2≤4m
即m≥，而m≥k，k的最大值是
故选B．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及二次函数的性质和排除法的运用，属于难题．