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    函数f(x)定义在实数集上，并满足如下条件：对于任意x∈R，有f(2＋x)=f(2－x)且f(7＋x)=f(7－x)，若f(0)=0，问f(x)=0在[－100，100]上至少有几个根？

     

    答案：
    提示：

    由条件f(2＋x)=f(2－x)，以x－2代x得：f(x)=f(4－x)(1)；再由条件f(7＋x)=f(7－x) 递推f(4－x)=f[7－(3＋x)]=f[7＋(3＋x)]=f(x＋10)，则f(x＋10)=f(x)(2)，即f(x)是以10为周期的函数．在(1)、(2)中令x=0，有f(4)=f(0)=0，f(10)=f(0)=0．即0，4，10均为f(x)=0的根；由周期性知10k(－10≤k≤10)，10k＋4(－10≤k≤9)(k∈Z)都是f(x)=0的根．因此f(x)=0在[－100，100]上至少有41个根．

     


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在R的函数f(x)=
    -2x+a2x+1+b
    （a，b为实常数）．
    （Ⅰ）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
    （Ⅱ）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
    （Ⅲ）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c2-3c+3成立．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f(x)=
    2x-m
    x2+1
    .
    （Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；
    （Ⅱ）判断f（x）在区间（α，β）上的单调性，并加以证明；
    （Ⅲ）若λ，μ为正实数，证明不等式：|f(
    λα+μβ
    λ+μ
    )-f(
    μα+λβ
    λ+μ
    )| ＜ |α-β|.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （任选一题）
    ①已知函数f（x）=x2-2，g（x）=xlnx，
    （1）若对一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，求实数a的取值范围；
    （2）试判断方程ln(1+x2)-
    12
    f(x)-k=0    有几个实根．
    ②已知f′（x）为f（x）的导函数，且定义在R上，对任意的x都有2f（x）+xf′（x）＞x2，试证明f（x）＞0．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在[1，+∞）上的函数f(x)=
    8-16|x-
    3
    2
    |，(1≤x≤2)
    1
    2
    f(
    x
    2
    )，(x＞2)
    ，有下面五个命题：
    ①函数f（x）是周期函数；
    ②函数f（x）的值域为[0，8]；
    ③关于x的方程f（x）=(
    1
    2
    )n-1    （n∈N*）有2n+5个不同的实根；
    ④当x∈[2n-1，2n]（n∈N*）时，f （x）的图象与x轴围成图形的面积为4；
    ⑤存在实数x0，使x0f（x0）＞12成立．
    其中正确命题是
    ②⑤
    ②⑤
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=ax+
    2
    x
    +6    ，其中a为实常数．
    （1）若f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
    （2）已知a=
    3
    4
    ，P1，P2是函数f（x）图象上两点，若在点P1，P2处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；
    （3）设定义在区间D上的函数y=s（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=t（x），当x≠x0时，若
    s(x)-t(x)
    x-x0
    ＞0    在D上恒成立，则称点P为函数y=s（x）的“好点”．试问函数g（x）=x2f（x）是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．

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