Question

数列{a_n}中，a_n+1+a_n=3n-54（n∈N^*）．
（1）若a₁=-20，求{a_n}的通项公式a_n；
（2）设S_n为{a_n}的前n项和，当a₁＞-27时，求S_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用题设递推式表示出a_n+2+a_n+1，两式相减求得a_n+2-a_n为常数，进而判断出a₁，a₃，a₅，与a₂，a₄，a₆，都是d=3的等差数列，进而分别看n为奇数和偶数时利用叠加法和等差数列求和公式求得答案．
（2）分别看n为奇数和偶数时表示出S_n，利用二次函数的性质分别求得其最小值，最后综合可得答案．

解答：解：（1）∵

an+1+an=3n-54 an+2+an+1=3n-51

，两式相减得a_n+2-a_n=3，
∴a₁，a₃，a₅，…，与a₂，a₄，a₆，…都是d=3的等差数列
∵a₁=-20
∴a₂=-31，
①当n为奇数时，an=-20+(

n+1

2

-1)×3=

3n-43

2

；
②当n为偶数时，an=-31+(

n

2

-1)×3=

3n-68

2

；
（2）①当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）++（a_n-1+a_n）
=（3×1-54）+（3×3-54）++[3（n-1）-54]=3[1+3+5++（n-1）]-

n

2

×54=

3

4

n2-27n=

3

4

(n-18)2-243，
∴当n=18时，（S_n）_min=-243；
②当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）++（a_n-1+a_n）=

3

4

n2-27n+

105

4

+a1=

3

4

(n-18)2-216

3

4

+a1，
∴当n=17或19时（S_n）_min=a₁-216＞-243；综上，当n=18时（S_n）_min=-243．

点评：本题主要考查了数列的求和问题，求数列的通项公式，以及数列与函数思想的综合．